组合数与卢卡斯定理

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组合数

定义法：

迭代公式法：

卢卡斯定理：

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int lucas(ll a,ll b){
    if(a<p&&b<p) return C(a,b);

    int res= (ll)C(a%p,b%p)*lucas(a/p,b/p)%p;
    return res;
}
//C(a,b)即以a为底取b的组合数

组合数高精度

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define MAXN 5010 
using namespace std;

bool numlist[MAXN];
int prime[MAXN],cnt=0,num[MAXN];
int a,b;
vector<int> res;
//欧拉筛筛出所有质数
void Eular(){
    for(int i=2;i<=5001;i++){
        if(numlist[i]==0){
            prime[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]<=5001/i;j++){
            numlist[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
//高精度
void mult(int a){
    for(int i=0;i<res.size();i++)
        res[i]*=a;
    for(int i=0;i<res.size()-1;i++){
        if(res[i]>=10){
            res[i+1]+=res[i]/10;
            res[i]%=10;
        }
    }
    while(res[res.size()-1]>=10){
        int u=res.size()-1;
        res.push_back(res[u]/10);
        res[u]%=10;
    }
}

int main(){
    Eular();
    scanf("%d%d",&a,&b);
    //处理出所有的公约数
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        int u=a;
        while(u){
            num[i]+=u/prime[i];
            u/=prime[i];
        }
        u=b;
        while(u){
            num[i]-=u/prime[i];
            u/=prime[i];
        }
        u=a-b;
        while(u){
            num[i]-=u/prime[i];
            u/=prime[i];
        }
    }
    res.push_back(1);
    //高精度乘法
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        if(num[i]!=0){
            for(int j=1;j<=num[i];j++){
                mult(prime[i]);
            }
        }
    }
    for(int i=res.size()-1;i>=0;i--)
        printf("%d",res[i]);
    puts("");
    return 0;
}

卢卡斯定理的证明利用了循环节的知识。